Postulat II: o wartościach własnych. Zagadnienie własne operatorów: położenia cząstki, pędu, momentu pędu, energii.

Postulat II: o wartościach własnych. Zagadnienie własne operatorów: położenia cząstki, pędu, momentu pędu, energii.

Jedyne możliwe wartości pomiarów danej wielkości fizycznej reprezentowanej przez operator hermitowski dane są przez wartości własne tego operatora.

Wartość własna operatora jest to taka liczba, którą uzyskujemy działając operatorem $A$ A na funkcję $\psi$ , otrzymując w wyniku tę samą funkcję i ową wartość własną $a_\lambda$ :

$A\psi = a_\lambda \psi$

Zagadnienie własne operatora położenia

Równanie własne operatora położenia $x$ ( $\xi$ – wartość własna):

$x\psi(x) = \xi \psi(x)$

przekształcając uzyskujemy równanie:

$(x-\xi)\psi(x) = 0$

wynikają z tego warunki: a) dla $x \neq \xi, \quad \psi(x)=0$
b) dla $x = \xi, \quad \psi(x)\neq0$
w przypadku b) można przyjąć, że $\psi = 0$ , ale rozwiązanie wtedy jest trywialne, spełniające równanie każdego operatora, w którym funkcja $\psi$ tożsamościowa jest równa zeru.
Funkcją, która spełnia warunki a) i b) jest delta Diraca, gdzie $\delta(x) = 0$ dla $x \neq 0$ oraz w punkcie $x=0$ funkcja $\delta(x)$ dąży do nieskończoności. Tak więc można zapisać równanie własne w postaci:

$\psi(x) = \delta(x-\xi)$

Każdej wartości rzeczywistej $\xi$ odpowiada tylko jedna funkcja $\delta(x-\xi)$ czyli jest to przypadek niezdegenerowanego widma ciągłego. Warunek ortonormalności: